Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Lực lượng của tập hợp.

Khái quát hoá khái niệm số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là khái niệm lực lượng của tập hợp (Cardinality).

Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một song ánh giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.

Tập hợp A và tập hợp B có cùng lực lượng

Khác biệt cơ bản của các tập hữu hạn với các tập vô hạn là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy. Sau đây là một vài ví dụ đơn giản:

• Tập con N ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {N} \setminus \{0\}} là tập con thực sự của N {\displaystyle \mathbb {N} } , tuy nhiên ta có thể kiểm tra ánh xạ sau là song ánh hay không:

ϕ : N → N ∖ { 0 } {\displaystyle \phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{0\}} n ⟼ n + 1 {\displaystyle n\longmapsto n+1}

Nghĩa là chúng có cùng lực lượng.

Georg Cantor đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các số tự nhiên và tập hợp các số thực, vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là "nhỏ hơn" lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng continuum.

| Z | < | R | {\displaystyle |\mathbb {Z} |<|\mathbb {R} |} Nếu ký hiệu | Z | {\displaystyle |\mathbb {Z} |} là ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ("aleph-null") và | R | {\displaystyle |\mathbb {R} |} là 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} ,thì ta có: | Z | {\displaystyle |\mathbb {Z} |} < 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} .

Tuy nhiên, có hay không một tập hợp có lực lượng lớn hơn lực lượng đếm được và nhỏ hơn lực lượng continuum lại là vấn đề khác, Cantor giả thiết rằng không có điều đó (giả thiết continuum - tiếng Anh: continuum hypothesis).

∄ A : ℵ 0 < | A | < 2 ℵ 0 . {\displaystyle \not \exists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.}

Điều này tương đương với:

2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}